秒殺一種導數(shù)恒成立-九品數(shù)學答疑選

小米搞機員

題：對任意的 x\in\left(e^{-\frac{1}{2}},1\right)，(ax-2)\ln x<\ln a 恒成立，求 a 的取值可以是（      ）
A. \sqrt{2}       B. \sqrt{e}       C. \frac{3}{2}        D.2
解：令 f(x)=(ax-2)\ln x<\ln a ， f'(x)=a(\ln x+1)-\frac{2}{x} ，因為導函數(shù)單增，要讓 f(x)<0 恒成立，就只需要端點滿足即可.
因為 f(x) 的圖像只有下面三種：

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無論哪種情況，都只需要端點函數(shù)值小于等于0就行.
即 f\left(e^{-\frac{1}{2}}\right)\leq 0 ， f(1)\leq 0 .這里之所以有等號，是因為定義域的兩個端點不能取.
不過其中有一個不等式解不出來： \sqrt{e}a+2\ln a-2>0 ，我們可以大致判斷一個范圍，當 a=\sqrt{e} 時，該式小于0，所以 a>\sqrt{e} ，只有選項D符合

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艾米麗

思路甚好！[贊][贊][贊] 但是計算有誤，左端點代入后你化簡的式子和我不一樣，我的式子化完根號e剛好是零點，即a的范圍可求：根號e到正無窮開區(qū)間。

Supergirl

感謝評論，歡迎多多交流指點[害羞][害羞]